Розв'язання Задачі З Геометрії Про Правильний Шестикутник І Коло
1) Знайдіть площу сектора, що містить дугу ACE
Розуміння правильних шестикутників та їх властивостей
Для розв'язання цієї геометричної задачі, важливо розуміти властивості правильного шестикутника та його зв'язок з описаним колом. Правильний шестикутник – це багатокутник із шістьма рівними сторонами та шістьма рівними кутами. Кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120 градусів. Правильний шестикутник можна поділити на шість рівносторонніх трикутників, центри яких збігаються з центром описаного кола.
Описане коло – це коло, яке проходить через усі вершини багатокутника. У випадку правильного шестикутника, центр описаного кола збігається з центром шестикутника, а радіус описаного кола дорівнює довжині сторони шестикутника.
У нашому випадку, маємо правильний шестикутник ABCDEF зі стороною 8 см, описаний навколо кола з центром O. Радіус цього кола також дорівнює 8 см, оскільки в правильному шестикутнику радіус описаного кола дорівнює довжині сторони шестикутника.
Визначення центрального кута сектора
Для знаходження площі сектора, що містить дугу ACE, нам потрібно визначити центральний кут, який відповідає цій дузі. Дуга ACE складається з трьох дуг, кожна з яких спирається на сторону шестикутника. Оскільки шестикутник правильний, кожна з цих дуг відповідає центральному куту, який дорівнює 360 градусів, поділеним на кількість сторін шестикутника, тобто 6. Отже, кожна дуга спирається на центральний кут 60 градусів.
Дуга ACE складається з трьох таких дуг, тому загальний центральний кут, який відповідає дузі ACE, дорівнює 3 * 60 = 180 градусів. Це означає, що сектор, який містить дугу ACE, є півкругом.
Обчислення площі сектора
Площа сектора кола обчислюється за формулою: S = (π * R^2 * α) / 360, де R – радіус кола, а α – центральний кут сектора в градусах.
У нашому випадку, радіус кола R = 8 см, а центральний кут α = 180 градусів. Підставляючи ці значення у формулу, отримуємо:
S = (π * 8^2 * 180) / 360 = (π * 64 * 180) / 360 = π * 64 / 2 = 32π см^2
Отже, площа сектора, що містить дугу ACE, дорівнює 32π см^2.
Альтернативний підхід до обчислення площі сектора
Оскільки ми визначили, що сектор, який містить дугу ACE, є півкругом, ми можемо використати простішу формулу для обчислення площі півкруга. Площа півкруга дорівнює половині площі повного круга, тобто S = (π * R^2) / 2.
Підставляючи значення радіуса R = 8 см у цю формулу, отримуємо:
S = (π * 8^2) / 2 = (π * 64) / 2 = 32π см^2
Цей підхід підтверджує наш попередній результат, що площа сектора, який містить дугу ACE, дорівнює 32π см^2.
Значення отриманого результату
Результат 32π см^2 є точною площею сектора. Для отримання наближеного значення, можна підставити значення π ≈ 3.14. Тоді площа сектора буде приблизно дорівнювати 32 * 3.14 ≈ 100.48 см^2.
Розуміння властивостей правильних багатокутників та їх зв'язку з описаними колами є важливим для розв'язання багатьох геометричних задач. У цьому випадку, ми використали знання про правильний шестикутник, центральні кути та площу сектора, щоб успішно розв'язати задачу.
2) Вкажіть, який відрізок є образом сторони CD при повороті навколо центру проти годинникової стрілки на кут 120 °
Розуміння поворотів у геометрії
У геометрії, поворот є одним з основних типів перетворень. Поворот – це перетворення, яке обертає кожну точку площини навколо заданої точки (центру повороту) на заданий кут. Поворот зберігає відстані між точками, тобто форма та розмір фігури не змінюються після повороту.
У нашому випадку, ми маємо поворот навколо центру O проти годинникової стрілки на кут 120 градусів. Нам потрібно визначити, який відрізок є образом сторони CD при цьому повороті.
Аналіз правильного шестикутника та кутів повороту
Правильний шестикутник має шість рівних сторін та шість рівних кутів. Як ми вже згадували, кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120 градусів. Крім того, центральний кут, який спирається на кожну сторону шестикутника, дорівнює 60 градусів (360 градусів / 6 сторін).
Поворот на 120 градусів відповідає двом центральним кутам шестикутника (120 / 60 = 2). Це означає, що при повороті на 120 градусів проти годинникової стрілки, сторона CD перейде через дві сторони шестикутника.
Визначення образу сторони CD
Щоб визначити образ сторони CD, ми можемо уявити поворот шестикутника навколо центру O на 120 градусів проти годинникової стрілки.
- Почнемо з точки C. При повороті на 120 градусів, точка C перейде в точку A (оскільки поворот на 60 градусів переводить C в B, а ще на 60 градусів – в A).
- Тепер розглянемо точку D. При повороті на 120 градусів, точка D перейде в точку B (аналогічно, поворот на 60 градусів переводить D в E, а ще на 60 градусів – в B).
Отже, при повороті на 120 градусів проти годинникової стрілки, сторона CD переходить у сторону AB.
Візуалізація повороту
Для кращого розуміння перетворення, корисно уявити собі поворот шестикутника. Можна намалювати шестикутник ABCDEF та позначити центр O. Потім уявити, як шестикутник обертається навколо точки O на 120 градусів. Це допоможе візуалізувати, як кожна точка та сторона переміщуються в нове положення.
Альтернативний метод визначення образу
Ми можемо також використати нумерацію сторін для визначення образу. Якщо ми пронумеруємо сторони шестикутника за годинниковою стрілкою, починаючи з AB (сторона 1), BC (сторона 2), CD (сторона 3) і так далі, то сторона CD є третьою стороною.
При повороті на 120 градусів, що відповідає двом сторонам (120 / 60 = 2), сторона CD (сторона 3) перейде у сторону, яка знаходиться на дві позиції раніше в нумерації проти годинникової стрілки. Це означає, що сторона 3 перейде у сторону 1, яка є стороною AB.
Важливість розуміння перетворень у геометрії
Розуміння поворотів та інших геометричних перетворень є важливим у математиці та її застосуваннях. Перетворення використовуються в багатьох областях, таких як комп'ютерна графіка, інженерія та фізика. Вміння визначати образи фігур при перетвореннях допомагає розв'язувати різні геометричні задачі та моделювати реальні ситуації.
У цьому випадку, ми використали знання про повороти та властивості правильного шестикутника, щоб визначити образ сторони CD при повороті на 120 градусів. Відповідь – відрізок AB.